空間に，同一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，条件 \[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1\,\quad \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1 \] を満たしている．$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面を$\alpha$とし，$\alpha$上にない点$\mathrm{P}$を次の条件を満たすようにとる． \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1 \] 点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とすると \[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}} \overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \] となる．$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=p$とおくと，$\triangle \mathrm{OPH}$の面積は \[ \frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \sqrt{\fbox{キ}p^2-\fbox{ク}} \] と表される．
$\triangle \mathrm{OAB}$の面積が$\triangle \mathrm{OPH}$の面積の$2$倍に等しいとき \[ p^2=\frac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}} \] である．またこのとき，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{5}{3} \overrightarrow{\mathrm{PO}}$を満たす点$\mathrm{Q}$をとると，四面体$\mathrm{QOAH}$の体積は \[ \frac{\sqrt{\fbox{ス}}}{\fbox{セソ}} \] である．