$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．
(1) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\frac{\fbox{}}{\fbox{}} \overrightarrow{a}+\frac{\fbox{}}{\fbox{}} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{\sqrt{\fbox{}}}{\fbox{}}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=-\frac{\fbox{}}{\fbox{}} \overrightarrow{a}+\frac{\fbox{}}{\fbox{}} \overrightarrow{c}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PR}}|=\frac{\sqrt{\fbox{}}}{\fbox{}}$
である．
(2) $\triangle \mathrm{PQR}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{}}}{\fbox{}}$である．
(3) $\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，線分$\mathrm{OG}$と平面$\mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\displaystyle \mathrm{OG}:\mathrm{OD}=1:\frac{\fbox{}}{\fbox{}}$である．