帯広畜産大学
2015年 畜産学部 第2問
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![関数f(x)=ax^2+bx+cを用いて,関数g(x)がg(x)={\begin{array}{ll}-ax^2+1&(x<\frac{√a}{a})\f(x)&(x≧\frac{√a}{a})\phantom{\frac{[]^{\mkakko{}}}{2}}\end{array}.で定義されている.ただし,a,b,cは定数で,a>0とする.次の各問に答えなさい.(1)関数f(x)の導関数を求めなさい.(2)曲線C_1:y=f(x)は点(\frac{√a}{a},0)を通り,この点における曲線C_1の接線の傾きは-2√aであるとする.(i)bをaの式で表しなさい.また,cの値を求めなさい.(ii)関数g(x)がx=4で極小になるように,aの値を定めなさい.(3)曲線C_2:y=g(x)は2点(2,-1),(3,0)を通る.また,曲線C_2と直線L:y=txで囲まれる部分の面積をtの関数としてS(t)で表す.ただし,a=1,0≦t≦2とする.このとき,S(t)の導関数の値は正である.(i)b,cの値をそれぞれ求めなさい.(ii)S(t)の最小値を求めなさい.(iii)S(t)が最大値をとるとき,曲線C_2と直線Lのすべての交点の座標を求めなさい.また,S(t)の最大値を求めなさい.](./thumb/3/2148/2015_2.png)
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関数$f(x)=ax^2+bx+c$を用いて,関数$g(x)$が
\[ g(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-ax^2+1 & \displaystyle\left( x<\frac{\sqrt{a}}{a} \right) \\
f(x) & \displaystyle\left( x \geqq \frac{\sqrt{a}}{a} \right) \phantom{\frac{\fbox{}^{\mkakko{}}}{2}}
\end{array} \right. \]
で定義されている.ただし,$a,\ b,\ c$は定数で,$a>0$とする.次の各問に答えなさい.
(1) 関数$f(x)$の導関数を求めなさい.
(2) 曲線$C_1:y=f(x)$は点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{a}}{a},\ 0 \right)$を通り,この点における曲線$C_1$の接線の傾きは$-2 \sqrt{a}$であるとする.
(ⅰ) $b$を$a$の式で表しなさい.また,$c$の値を求めなさい.
(ⅱ) 関数$g(x)$が$x=4$で極小になるように,$a$の値を定めなさい.
(3) 曲線$C_2:y=g(x)$は$2$点$(2,\ -1)$,$(3,\ 0)$を通る.また,曲線$C_2$と直線$L:y=tx$で囲まれる部分の面積を$t$の関数として$S(t)$で表す.ただし,$a=1$,$0 \leqq t \leqq 2$とする.このとき,$S(t)$の導関数の値は正である.
(ⅰ) $b,\ c$の値をそれぞれ求めなさい.
(ⅱ) $S(t)$の最小値を求めなさい.
(ⅲ) $S(t)$が最大値をとるとき,曲線$C_2$と直線$L$のすべての交点の座標を求めなさい.また,$S(t)$の最大値を求めなさい.
(1) 関数$f(x)$の導関数を求めなさい.
(2) 曲線$C_1:y=f(x)$は点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{a}}{a},\ 0 \right)$を通り,この点における曲線$C_1$の接線の傾きは$-2 \sqrt{a}$であるとする.
(ⅰ) $b$を$a$の式で表しなさい.また,$c$の値を求めなさい.
(ⅱ) 関数$g(x)$が$x=4$で極小になるように,$a$の値を定めなさい.
(3) 曲線$C_2:y=g(x)$は$2$点$(2,\ -1)$,$(3,\ 0)$を通る.また,曲線$C_2$と直線$L:y=tx$で囲まれる部分の面積を$t$の関数として$S(t)$で表す.ただし,$a=1$,$0 \leqq t \leqq 2$とする.このとき,$S(t)$の導関数の値は正である.
(ⅰ) $b,\ c$の値をそれぞれ求めなさい.
(ⅱ) $S(t)$の最小値を求めなさい.
(ⅲ) $S(t)$が最大値をとるとき,曲線$C_2$と直線$L$のすべての交点の座標を求めなさい.また,$S(t)$の最大値を求めなさい.
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