京都薬科大学
2013年 薬学部 第3問
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![濃度a%の食塩水300gが入っている容器Aと,濃度b%の食塩水400gが入っている容器Bがある.Aより100gの食塩水をとってそれをBに移し,よくかき混ぜた後に同量をAに戻すとする.この操作をn回繰り返したときのA,Bの食塩水の濃度を求めたい.次の[]にあてはまる数または式を記入せよ.(1)容器Aと容器Bに,最初にあった食塩の量の和は[*]gである.(2)n(≧1)回の操作の後,容器Aの濃度がx_n%,容器Bの濃度がy_n%になっていたとする.y_nをx_{n-1}とy_{n-1}を用いて表すと,y_n=[]x_{n-1}+[]y_{n-1}となる.また,x_nをx_{n-1}とy_{n-1}を用いて表すと,x_n=[]x_{n-1}+[]y_{n-1}となる.(3)食塩の量の和は一定であることに注意すると,[**]x_n+[***]y_n=[**]x_{n-1}+[***]y_{n-1}=・・・=[*](4)(3)で与えられた関係式を使って,数列{x_n}の漸化式をつくると,x_n=[]x_{n-1}+[]となる.この漸化式を解くことによって,x_nをaとbおよびnを用いて表すと,x_n=[]また,y_nをaとbおよびnを用いて表すと,y_n=[]となる.](./thumb/493/2301/2013_3.png)
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濃度$a \, \%$の食塩水$300 \, \mathrm{g}$が入っている容器$\mathrm{A}$と,濃度$b \, \%$の食塩水$400 \, \mathrm{g}$が入っている容器$\mathrm{B}$がある.$\mathrm{A}$より$100 \, \mathrm{g}$の食塩水をとってそれを$\mathrm{B}$に移し,よくかき混ぜた後に同量を$\mathrm{A}$に戻すとする.この操作を$n$回繰り返したときの$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の食塩水の濃度を求めたい.次の$\fbox{}$にあてはまる数または式を記入せよ.
(1) 容器$\mathrm{A}$と容器$\mathrm{B}$に,最初にあった食塩の量の和は$\fbox{$\ast$} \mathrm{g}$である.
(2) $n \ \ (\geqq 1)$回の操作の後,容器$\mathrm{A}$の濃度が$x_n \, \%$,容器$\mathrm{B}$の濃度が$y_n \, \%$になっていたとする.$y_n$を$x_{n-1}$と$y_{n-1}$を用いて表すと, \[ y_n=\fbox{} x_{n-1}+\fbox{} y_{n-1} \] となる.また,$x_n$を$x_{n-1}$と$y_{n-1}$を用いて表すと, \[ x_n=\fbox{} x_{n-1}+\fbox{} y_{n-1} \] となる.
(3) 食塩の量の和は一定であることに注意すると, \[ \fbox{$\ast \ast$} x_n+\fbox{$\ast\ast\ast$} y_n=\fbox{$\ast\ast$} x_{n-1}+\fbox{$\ast\ast\ast$} y_{n-1}=\cdots =\fbox{$\ast$} \]
(4) $(3)$で与えられた関係式を使って,数列$\{x_n\}$の漸化式をつくると, \[ x_n=\fbox{} x_{n-1}+\fbox{} \] となる.この漸化式を解くことによって,$x_n$を$a$と$b$および$n$を用いて表すと, \[ x_n=\fbox{} \] また,$y_n$を$a$と$b$および$n$を用いて表すと, \[ y_n=\fbox{} \] となる.
(1) 容器$\mathrm{A}$と容器$\mathrm{B}$に,最初にあった食塩の量の和は$\fbox{$\ast$} \mathrm{g}$である.
(2) $n \ \ (\geqq 1)$回の操作の後,容器$\mathrm{A}$の濃度が$x_n \, \%$,容器$\mathrm{B}$の濃度が$y_n \, \%$になっていたとする.$y_n$を$x_{n-1}$と$y_{n-1}$を用いて表すと, \[ y_n=\fbox{} x_{n-1}+\fbox{} y_{n-1} \] となる.また,$x_n$を$x_{n-1}$と$y_{n-1}$を用いて表すと, \[ x_n=\fbox{} x_{n-1}+\fbox{} y_{n-1} \] となる.
(3) 食塩の量の和は一定であることに注意すると, \[ \fbox{$\ast \ast$} x_n+\fbox{$\ast\ast\ast$} y_n=\fbox{$\ast\ast$} x_{n-1}+\fbox{$\ast\ast\ast$} y_{n-1}=\cdots =\fbox{$\ast$} \]
(4) $(3)$で与えられた関係式を使って,数列$\{x_n\}$の漸化式をつくると, \[ x_n=\fbox{} x_{n-1}+\fbox{} \] となる.この漸化式を解くことによって,$x_n$を$a$と$b$および$n$を用いて表すと, \[ x_n=\fbox{} \] また,$y_n$を$a$と$b$および$n$を用いて表すと, \[ y_n=\fbox{} \] となる.
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