福井大学
2012年 工学部 第4問
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$xy$平面上に,曲線$C_1:x=t-\sin t,\ y=1-\cos t \ (0 \leqq t \leqq 2\pi)$がある.$0<t<2\pi$をみたす$t$に対し,$C_1$上の点$\mathrm{P}_1(t-\sin t,\ 1-\cos t)$における$C_1$の法線を$m$とおき,$x$軸と$m$の交点を$\mathrm{M}$とし,$\mathrm{M}$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点になるように点$\mathrm{P}_2$をとる.このとき,以下の問いに答えよ.
\imgc{366_2547_2012_1}
(1) 直線$m$の方程式を求めよ.また,$\mathrm{M},\ \mathrm{P}_2$の座標を$t$を用いて表せ.さらに,$\mathrm{P}_2$の$x$座標を$f(t)$とおくと,関数$f(t)$は,$0<t<2\pi$で増加することを示せ.
(2) $t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲を動くときの$\mathrm{P}_2$の軌跡を$C_2$とするとき,$x$軸と曲線$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ.ただし,$t=0,\ 2\pi$に対しては,点$\mathrm{P}_2$をそれぞれ点$(0,\ 0)$,点$(2\pi,\ 0)$にとるものとする.
(1) 直線$m$の方程式を求めよ.また,$\mathrm{M},\ \mathrm{P}_2$の座標を$t$を用いて表せ.さらに,$\mathrm{P}_2$の$x$座標を$f(t)$とおくと,関数$f(t)$は,$0<t<2\pi$で増加することを示せ.
(2) $t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲を動くときの$\mathrm{P}_2$の軌跡を$C_2$とするとき,$x$軸と曲線$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ.ただし,$t=0,\ 2\pi$に対しては,点$\mathrm{P}_2$をそれぞれ点$(0,\ 0)$,点$(2\pi,\ 0)$にとるものとする.
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