獨協大学
2010年 文系 第1問
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![次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．(1)関数y=x^3-ax^2は，x=[1]のとき極大値y=[2]をとり，x=[3]のとき極小値y=[4]をとる．ただし，aは定数でa＜0を満たすものとする．(2)関数f(x)=ax^2+x+bが∫_{-2}^23f(x)dx=52，∫_{-1}^15x^2f(x)dx=12を満たしているとき，a=[5]であり，b=[6]である．(3)log_{10}2=p，log_{10}3=qとするとき，x=log_{10}\sqrt{36}をp,qで表すとx=[7]であり，y=log_{√6}√5をp,qで表すとy=[8]である．(4)次の(i)，(ii)におけるnの値として最も適切なものを，下の（イ）～（ホ）の中から選び，記号で答えよ．(i)nを整数として，nの階乗のおおよその値が次のように与えられたときnの値は[9]である．n!\fallingdotseq4.3×10^{69},(n-1)!\fallingdotseq8.1×10^{67}(ii)nを整数として，1/8の累乗のおおよその値が次のように与えられたときnの値は[10]である．(1/8)^n\fallingdotseq6.5×10^{-55}, ただし， (1/8)^{30}\fallingdotseq8.1×10^{-28} とする． （イ）50（ロ）53（ハ）58（ニ）60（ホ）63(5)方程式|x|+2|x-2|=x+1/2を満たす実数xをすべて求めると[11]である．\mon6枚のカードがあり，「E」と「R」がそれぞれ1枚のカードに書かれており，「A」と「G」がそれぞれ2枚のカードに書かれている．このカードを1列に並べたとき「GARAGE」となる確率は[12]である．\mon△ABCの三辺をそれぞれa,b,cとする．△ABCの面積が3\sqrt{15}であり，a:b:c=2:3:4であるとき，a=[13]，b=[14]，c=[15]である．\mon全体集合Uの2つの部分集合A,Bについて，n(U)=20，n(\overline{A}∩B)=7，n(\overline{A}∩\overline{B})=6，n(\overline{A}∪\overline{B})=16であるとき，n(A)=[16]であり，n(B)=[17]である．](./thumb/135/2241/2010_1.png)
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次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．
(1) 関数$y=x^3-ax^2$は，$x=\fbox{$1$}$のとき極大値$y=\fbox{$2$}$をとり，$x=\fbox{$3$}$のとき極小値$y=\fbox{$4$}$をとる．ただし，$a$は定数で$a<0$を満たすものとする．
(2) 関数$f(x)=ax^2+x+b$が$\displaystyle \int_{-2}^2 3f(x) \, dx=52$，$\displaystyle \int_{-1}^1 5x^2f(x) \, dx=12$を満たしているとき，$a=\fbox{$5$}$であり，$b=\fbox{$6$}$である．
(3) $\log_{10}2=p$，$\log_{10}3=q$とするとき，$x=\log_{10} \sqrt{36}$を$p,\ q$で表すと$x=\fbox{$7$}$であり，$y=\log_{\sqrt{6}} \sqrt{5}$を$p,\ q$で表すと$y=\fbox{$8$}$である．
(4) 次の$\tokeiichi$，$\tokeini$における$n$の値として最も適切なものを，下の（イ）～（ホ）の中から選び，記号で答えよ．
(ⅰ) $n$を整数として，$n$の階乗のおおよその値が次のように与えられたとき$n$の値は$\fbox{$9$}$である． \[ n! \fallingdotseq 4.3 \times 10^{69},\quad (n-1)! \fallingdotseq 8.1 \times 10^{67} \]
(ⅱ) $n$を整数として，$\displaystyle \frac{1}{8}$の累乗のおおよその値が次のように与えられたとき$n$の値は$\fbox{$10$}$である． \[ \left( \frac{1}{8} \right)^n \fallingdotseq 6.5 \times 10^{-55}, \quad \text{ただし，} \quad \left( \frac{1}{8} \right)^{30} \fallingdotseq 8.1 \times 10^{-28} \quad \text{とする．} \]
（イ）$50$ \quad （ロ） $53$ \quad （ハ）$58$ \quad （ニ）$60$ \quad （ホ）$63$
(5) 方程式 \[ |x|+2 |x-2|=x+\frac{1}{2} \] を満たす実数$x$をすべて求めると$\fbox{$11$}$である． $6$枚のカードがあり，「$\mathrm{E}$」と「$\mathrm{R}$」がそれぞれ$1$枚のカードに書かれており，「$\mathrm{A}$」と「$\mathrm{G}$」がそれぞれ$2$枚のカードに書かれている．このカードを$1$列に並べたとき「$\mathrm{GARAGE}$」となる確率は$\fbox{$12$}$である． $\triangle \mathrm{ABC}$の三辺をそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$3 \sqrt{15}$であり， \[ a:b:c=2:3:4 \] であるとき，$a=\fbox{$13$}$，$b=\fbox{$14$}$，$c=\fbox{$15$}$である． 全体集合$U$の$2$つの部分集合$A,\ B$について，$n(U)=20$，$n(\overline{A} \cap B)=7$，$n(\overline{A} \cap \overline{B})=6$，$n(\overline{A} \cup \overline{B})=16$であるとき，$n(A)=\fbox{$16$}$であり，$n(B)=\fbox{$17$}$である．
(1) 関数$y=x^3-ax^2$は，$x=\fbox{$1$}$のとき極大値$y=\fbox{$2$}$をとり，$x=\fbox{$3$}$のとき極小値$y=\fbox{$4$}$をとる．ただし，$a$は定数で$a<0$を満たすものとする．
(2) 関数$f(x)=ax^2+x+b$が$\displaystyle \int_{-2}^2 3f(x) \, dx=52$，$\displaystyle \int_{-1}^1 5x^2f(x) \, dx=12$を満たしているとき，$a=\fbox{$5$}$であり，$b=\fbox{$6$}$である．
(3) $\log_{10}2=p$，$\log_{10}3=q$とするとき，$x=\log_{10} \sqrt{36}$を$p,\ q$で表すと$x=\fbox{$7$}$であり，$y=\log_{\sqrt{6}} \sqrt{5}$を$p,\ q$で表すと$y=\fbox{$8$}$である．
(4) 次の$\tokeiichi$，$\tokeini$における$n$の値として最も適切なものを，下の（イ）～（ホ）の中から選び，記号で答えよ．
(ⅰ) $n$を整数として，$n$の階乗のおおよその値が次のように与えられたとき$n$の値は$\fbox{$9$}$である． \[ n! \fallingdotseq 4.3 \times 10^{69},\quad (n-1)! \fallingdotseq 8.1 \times 10^{67} \]
(ⅱ) $n$を整数として，$\displaystyle \frac{1}{8}$の累乗のおおよその値が次のように与えられたとき$n$の値は$\fbox{$10$}$である． \[ \left( \frac{1}{8} \right)^n \fallingdotseq 6.5 \times 10^{-55}, \quad \text{ただし，} \quad \left( \frac{1}{8} \right)^{30} \fallingdotseq 8.1 \times 10^{-28} \quad \text{とする．} \]
（イ）$50$ \quad （ロ） $53$ \quad （ハ）$58$ \quad （ニ）$60$ \quad （ホ）$63$
(5) 方程式 \[ |x|+2 |x-2|=x+\frac{1}{2} \] を満たす実数$x$をすべて求めると$\fbox{$11$}$である． $6$枚のカードがあり，「$\mathrm{E}$」と「$\mathrm{R}$」がそれぞれ$1$枚のカードに書かれており，「$\mathrm{A}$」と「$\mathrm{G}$」がそれぞれ$2$枚のカードに書かれている．このカードを$1$列に並べたとき「$\mathrm{GARAGE}$」となる確率は$\fbox{$12$}$である． $\triangle \mathrm{ABC}$の三辺をそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$3 \sqrt{15}$であり， \[ a:b:c=2:3:4 \] であるとき，$a=\fbox{$13$}$，$b=\fbox{$14$}$，$c=\fbox{$15$}$である． 全体集合$U$の$2$つの部分集合$A,\ B$について，$n(U)=20$，$n(\overline{A} \cap B)=7$，$n(\overline{A} \cap \overline{B})=6$，$n(\overline{A} \cup \overline{B})=16$であるとき，$n(A)=\fbox{$16$}$であり，$n(B)=\fbox{$17$}$である．
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