次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．
(1) ${(2x+3y)}^3+{(2x-3y)}^3$を展開すると$\fbox{$1$}$になる．
(2) $-1<a<0<b<c$とするとき， \[ -\frac{a}{c},\ \frac{a}{c},\ \frac{1}{ac},\ -\frac{1}{ab},\ -\frac{1}{ac} \] の$5$つの数のうち，小さい方から$2$番目の数は$\fbox{$2$}$であり$4$番目の数は$\fbox{$3$}$である．
(3) $\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta<\frac{3\pi}{2}$のときに \[ 2 \sin^3 \theta-\sin \theta=0 \] の解をすべて記すと$\fbox{$4$}$である．
(4) $a,\ b$を定数とする$x$に関する$3$次方程式 \[ 2x^3+ax^2+bx-10=0 \] の$2$つの解が$x=1,\ 2$であるとき，$a=\fbox{$5$}$，$b=\fbox{$6$}$であり，もう$1$つの解は$\fbox{$7$}$である．
(5) $\mathrm{P}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{L}$の文字が$1$つずつ刻まれているタイルが$6$枚ある．これらを横$1$列に並べるとき，$\mathrm{P}$が$\mathrm{E}$より左で，かつ，$\mathrm{N}$が$\mathrm{E}$より右となる確率は$\fbox{$8$}$である． $a$を定数とする方程式$x^3-6x^2-a=0$の異なる実数解は，$a$の値が$\fbox{$9$}$の場合には$3$個，$\fbox{$10$}$または$\fbox{$11$}$の場合には$2$個，$\fbox{$12$}$または$\fbox{$13$}$の場合には$1$個，それぞれ存在する． $\alpha$を実数として，空間における原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(-1,\ \alpha,\ \alpha)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ \alpha)$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を最小にする$\alpha$の値は$\fbox{$14$}$であり，このとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$\fbox{$15$}$である． 点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の円周上に点$\mathrm{A}$をとり，点$\mathrm{A}$における接線上に$\mathrm{AB}=2$となる点$\mathrm{B}$をとる．次に，点$\mathrm{B}$から$\mathrm{BC}=2$となるように円周上に点$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{C}$をとる．このとき，三角形$\mathrm{OAC}$の面積は$\fbox{$16$}$であり，$\sin \angle \mathrm{CAB}=\fbox{$17$}$である． \imgc{135_2241_2012_1}