電気通信大学
2012年 理系 第1問
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関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}$に対して，$xy$平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2) 曲線$C$の第$1$象限にある変曲点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3) 変曲点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4) $\displaystyle x=\tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とおく．このとき，不定積分 \[ I=\int \frac{dx}{x^2+1} \] を$\theta$を用いて表せ．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．
(5) 曲線$C$と接線$\ell$および$y$軸とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．
(1) 導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2) 曲線$C$の第$1$象限にある変曲点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3) 変曲点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4) $\displaystyle x=\tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とおく．このとき，不定積分 \[ I=\int \frac{dx}{x^2+1} \] を$\theta$を用いて表せ．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．
(5) 曲線$C$と接線$\ell$および$y$軸とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．
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