数列$\{a(n)\}$を$a(1)=1$および$n \geqq 1$に対して \[ \left\{ \begin{array}{l} a(2n) = 3a(n) \\ a(2n+1)=2a(n)+a(n+1) \end{array} \right. \] で定義する．以下の問いに答えよ．
(1) $a(2),\ a(3),\ a(4),\ a(5)$を求めよ．
次に数列$\{b(n)\}$を$b(1)=a(1)$および$n \geqq 2$に対して \[ b(n)=a(n)-a(n-1) \] で定義する．
[(2)] $b(2),\ b(3),\ b(4),\ b(5)$を求めよ． [(3)] すべての自然数$n$に対して， \[ \left\{ \begin{array}{l} b(2n) = 2b(n) \\ b(2n+1)=b(n+1) \end{array} \right. \] が成り立つことを証明せよ． [(4)] 自然数$k$に対して$b(2^k)$および$b(2^k+1)$を計算せよ． [(5)] 自然数$k$に対して$a(2^k-1)$を計算せよ．