座標平面上を運動する動点P$(x,\ y)$が時刻$t$の関数として \[ x=t \cos \alpha,\quad y=t \sin \alpha-t^2 \] で与えられているとする．ただし，$\alpha$は$0 \leqq \alpha < 2\pi$を満たす定数とする．直線$y=x$を$\ell$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1) 時刻$t=0$における動点Pの速度$\overrightarrow{v}$とその大きさ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2) Pが直線$\ell$上の点を通る時刻$t$をすべて求めよ．
(3) 正の時刻においてPが$\ell$上の点を通るための$\alpha$の範囲を求めよ．
以下では，$\alpha$は(3)で求めた範囲にあるとする．
[(4)] 正の時刻においてPが通る$\ell$上の点の$x$座標を求めよ． [(5)] (4)で求めた$\ell$上の点の$x$座標を$f(\alpha)$とし，$\alpha$を(3)で求めた範囲で変化させる．$f(\alpha)$の最大値，最小値を求め，それらを与える$\alpha$の値を求めよ．