$x>0$において関数 \[ f(x)=\sin (\log x) \] を考える．\\ 方程式$f(x)=0$の$0<x \leqq 1$における解を大きいほうから順にならべて， \[ 1=\alpha_1>\alpha_2>\alpha_3>\cdots > \alpha_n>\alpha_{n+1} > \cdots \] とする．以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数とする．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．
(1) 不定積分$I(x),\ J(x)$をそれぞれ \[ I(x)=\int e^x \sin x \, dx,\quad J(x)=\int e^x \cos x \, dx \] とおくとき，$I(x)+J(x),\ I(x)-J(x)$を求めよ．
(2) 不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(3) $\alpha_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(4) 区間$\alpha_{n+1} \leqq x \leqq \alpha_n$において，曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を$S_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$S_n$を求めよ．
(5) 無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和$S$を求めよ．