関数$f(t),\ g(t)$を次のように定義する．ただし，$e$は自然対数の底とする． \[ f(t)=(t-1)e^{-t},\quad g(t)=(t-1)^2e^{-t} \] $xy$平面上の曲線$C$が，媒介変数$t$を用いて \[ x=f(t),\quad y=g(t) \quad (1 \leqq t \leqq 3) \] と表されるとき，以下の問いに答えよ．
(1) $f(t)=g(t)$となる$t$の値を$\alpha,\ \beta \ \ (\alpha<\beta)$とする．$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．さらに，$\alpha \leqq t \leqq \beta$のとき，$f(t) \geqq g(t)$であることを示せ．
(2) 導関数$f^\prime(t),\ g^\prime(t)$をそれぞれ求めよ．さらに，区間$\alpha \leqq t \leqq \beta$において，関数$f(t)$，$g(t)$がともに単調に増加することを示せ．
(3) 次の定積分をそれぞれ求めよ． \[ I_1=\int_0^1 ue^{-2u} \, du,\quad I_2=\int_0^1 u^2 e^{-2u} \, du,\quad I_3=\int_0^1 u^3e^{-2u} \, du \]
(4) 曲線$C$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．