電気通信大学
2013年 理系 第3問
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以下の問いに答えよ．
(1) 自然数$n$に対して， \[ (\cos \theta+i \sin \theta)^n=\cos (n \theta)+i \sin (n \theta) \] が成り立つことを$n$に関する数学的帰納法により証明せよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(2) $\cos (n \theta)=0$をみたすような$\theta$をすべて求めよ．
(3) $t=\cos \theta$とする．(1)の等式を使って，$\cos 5 \theta=f(t)$をみたす多項式$f(t)$を求めよ．
(4) $f(t)=0$のすべての解を$\cos \alpha \ (0 \leqq \alpha \leqq \pi)$の形で表せ．また，それらを大きい順に並べよ．
(5) $\displaystyle \cos \frac{3}{10}\pi$を求めよ．
(1) 自然数$n$に対して， \[ (\cos \theta+i \sin \theta)^n=\cos (n \theta)+i \sin (n \theta) \] が成り立つことを$n$に関する数学的帰納法により証明せよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(2) $\cos (n \theta)=0$をみたすような$\theta$をすべて求めよ．
(3) $t=\cos \theta$とする．(1)の等式を使って，$\cos 5 \theta=f(t)$をみたす多項式$f(t)$を求めよ．
(4) $f(t)=0$のすべての解を$\cos \alpha \ (0 \leqq \alpha \leqq \pi)$の形で表せ．また，それらを大きい順に並べよ．
(5) $\displaystyle \cos \frac{3}{10}\pi$を求めよ．
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