電気通信大学
2012年 理系 第3問
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$a$を正の定数とし，次のように定められた$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を考える．
\[ \left\{
\begin{array}{ll}
a_1=a,\quad a_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2} \left( a_n+\displaystyle\frac{4}{a_n} \right) & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_n=\displaystyle\frac{a_n-2}{a_n+2} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array}
\right. \]
このとき，以下の問いに答えよ．
(1) $-1<b_1<1$であることを示せ．
(2) $b_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．さらに，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(3) $b_3,\ b_4$をそれぞれ$b_1$を用いて表せ．さらに，数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$n$と$b_1$を用いて表せ．
(4) 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$と$b_1$を用いて表せ．
(5) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(1) $-1<b_1<1$であることを示せ．
(2) $b_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．さらに，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(3) $b_3,\ b_4$をそれぞれ$b_1$を用いて表せ．さらに，数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$n$と$b_1$を用いて表せ．
(4) 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$と$b_1$を用いて表せ．
(5) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
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コメント（1件）
2015-02-10 21:20:21
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