佐賀大学
2015年 医学部 第1問
1
1
$a,\ b$は定数であり,$0<a<b$とする.定積分
\[ I=\int_0^1 a^{1-t}b^t \, dt \]
について,次の問に答えよ.
(1) $I$を求めよ.
(2) $0 \leqq t \leqq 1$のとき, \[ a^{1-t}b^t+a^tb^{1-t} \geqq 2 \sqrt{ab} \] であることを示せ.また,$I>\sqrt{ab}$を示せ.
(3) $0<t<1$とする.$x>1$のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ. \[ x^t<1+t(x-1) \]
(4) $(3)$の不等式を利用して,$\displaystyle I<\frac{a+b}{2}$を示せ.
(1) $I$を求めよ.
(2) $0 \leqq t \leqq 1$のとき, \[ a^{1-t}b^t+a^tb^{1-t} \geqq 2 \sqrt{ab} \] であることを示せ.また,$I>\sqrt{ab}$を示せ.
(3) $0<t<1$とする.$x>1$のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ. \[ x^t<1+t(x-1) \]
(4) $(3)$の不等式を利用して,$\displaystyle I<\frac{a+b}{2}$を示せ.
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