早稲田大学
2011年 人間科学学部(理系) 第6問
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$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 6
\end{array} \right)$とする.点$(x,\ y)$が$xy$平面上を動くとき,行列$A$による変換$\left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$で移される点$(X,\ Y)$は$XY$平面上の直線$\ell:Y=\fbox{ト}X$上を動く.
次に,行列$G=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array} \right)$が$AGA=A$を満たすとする.点$(X,\ Y)$が$\ell$上を動くとき,その各点で列ベクトル$G \left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right)$が定まる.このとき,列ベクトル$G \left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right)$の大きさは$X$の値により変化するが,いずれの場合においても$\displaystyle a=\frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$,$\displaystyle b=\frac{\fbox{ヌ}}{\fbox{ネ}}$のとき最小となる.ただし,$\fbox{ニ}$,$\fbox{ネ}$はできるだけ小さな自然数で答えること.
次に,行列$G=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array} \right)$が$AGA=A$を満たすとする.点$(X,\ Y)$が$\ell$上を動くとき,その各点で列ベクトル$G \left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right)$が定まる.このとき,列ベクトル$G \left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right)$の大きさは$X$の値により変化するが,いずれの場合においても$\displaystyle a=\frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}$,$\displaystyle b=\frac{\fbox{ヌ}}{\fbox{ネ}}$のとき最小となる.ただし,$\fbox{ニ}$,$\fbox{ネ}$はできるだけ小さな自然数で答えること.
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