鳥取環境大学
2013年 環境・経営 第5問
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以下の問に答えよ.
(1) 次の$\tokeiichi$~$\tokeisan$の文章が命題であれば真偽を答えよ.また真の場合は理由を示し,偽の場合は反例を示せ.命題でない場合は「命題でない」と答えよ.
(ⅰ) $x$が整数ならば$x^2 \geqq 0$である.
(ⅱ) $n$が$2$以上の整数であるとき$2^n-1$はすべて素数である.
(ⅲ) 数学は美しい.
(2) 次の$\tokeiichi$~$\tokeigo$の$\fbox{}$の中に,必要条件であるが十分条件でない,十分条件であるが必要条件でない,必要十分条件である,必要条件でも十分条件でもない,のいずれが当てはまるか答えよ.
(ⅰ) $x$が偶数であることは,$x$が整数であるための$\fbox{}$.
(ⅱ) 三角形$\mathrm{ABC}$のどれかひとつの辺の長さの$2$乗がのこりの$2$辺の長さの$2$乗の和に等しいことは,三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形であるための$\fbox{}$.
(ⅲ) $x,\ y$がともに有理数のとき,$y>2x^2$であることは,$y>x^2-2x-2$であるための$\fbox{}$. [$\tokeishi$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の内角が$4$つとも$90^\circ$であることは,四角形$\mathrm{ABCD}$が正方形であるための$\fbox{}$. [$\tokeigo$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さがすべて等しいことは,四角形$\mathrm{ABCD}$が長方形であるための$\fbox{}$.
(3) 次の命題(ア),(イ)の逆,裏,対偶をそれぞれ書け.また,元の命題,逆,裏,対偶の真偽をそれぞれ答えよ.
[(ア)] $\sqrt{n}$が有理数ならば$n$は有理数である. [(イ)] $n$を整数とする.$n$が奇数ならば$n^2$は奇数である.
(1) 次の$\tokeiichi$~$\tokeisan$の文章が命題であれば真偽を答えよ.また真の場合は理由を示し,偽の場合は反例を示せ.命題でない場合は「命題でない」と答えよ.
(ⅰ) $x$が整数ならば$x^2 \geqq 0$である.
(ⅱ) $n$が$2$以上の整数であるとき$2^n-1$はすべて素数である.
(ⅲ) 数学は美しい.
(2) 次の$\tokeiichi$~$\tokeigo$の$\fbox{}$の中に,必要条件であるが十分条件でない,十分条件であるが必要条件でない,必要十分条件である,必要条件でも十分条件でもない,のいずれが当てはまるか答えよ.
(ⅰ) $x$が偶数であることは,$x$が整数であるための$\fbox{}$.
(ⅱ) 三角形$\mathrm{ABC}$のどれかひとつの辺の長さの$2$乗がのこりの$2$辺の長さの$2$乗の和に等しいことは,三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形であるための$\fbox{}$.
(ⅲ) $x,\ y$がともに有理数のとき,$y>2x^2$であることは,$y>x^2-2x-2$であるための$\fbox{}$. [$\tokeishi$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の内角が$4$つとも$90^\circ$であることは,四角形$\mathrm{ABCD}$が正方形であるための$\fbox{}$. [$\tokeigo$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さがすべて等しいことは,四角形$\mathrm{ABCD}$が長方形であるための$\fbox{}$.
(3) 次の命題(ア),(イ)の逆,裏,対偶をそれぞれ書け.また,元の命題,逆,裏,対偶の真偽をそれぞれ答えよ.
[(ア)] $\sqrt{n}$が有理数ならば$n$は有理数である. [(イ)] $n$を整数とする.$n$が奇数ならば$n^2$は奇数である.
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