東京理科大学
2014年 薬学部(薬) 第2問
2
![kを定数として,3次方程式x^3-3/2x^2-6x-k=0・・・・・・(*)を考える.(1)この方程式が,異なる3つの実数解をもつようなkの値の範囲は-[ア][イ]<k<\frac{[ウ]}{[エ]}・・・・・・(**)である.(2)kが(**)の範囲にあるとき,方程式(*)の3つの解をα,β,γ(ただしα<β<γ)とおく.(i)kが(**)の範囲を動くとき,α,β,γの取りうる値の範囲は,それぞれ-\frac{[オ]}{[カ]}<α<-[キ],-[ク]<β<[ケ],[コ]<γ<\frac{[サ]}{[シ]}である.(ii)kが(**)の範囲を動くとき,αとγの積αγが最小となるのはk=-\frac{[ス][セ][ソ]}{[タ][チ]}のときであって,αγの最小値は-\frac{[ツ][テ][ト]}{[ナ][ニ]}である.](./thumb/269/263/2014_2.png)
2
$k$を定数として,$3$次方程式
\[ x^3-\frac{3}{2}x^2-6x-k=0 \hfill \cdots\cdots (\ast) \]
を考える.
(1) この方程式が,異なる$3$つの実数解をもつような$k$の値の範囲は \[ -\fbox{ア}\fbox{イ}<k< \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} \hfill \cdots\cdots (\ast\ast) \] である.
(2) $k$が$(\ast\ast)$の範囲にあるとき,方程式$(\ast)$の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$(ただし$\alpha<\beta<\gamma$)とおく.
(ⅰ) $k$が$(\ast\ast)$の範囲を動くとき,$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の取りうる値の範囲は,それぞれ \[ -\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}<\alpha<-\fbox{キ},\quad -\fbox{ク}<\beta<\fbox{ケ},\quad \fbox{コ}<\gamma<\frac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}} \] である.
(ⅱ) $k$が$(\ast\ast)$の範囲を動くとき,$\alpha$と$\gamma$の積$\alpha\gamma$が最小となるのは \[ k=-\frac{\fbox{ス}\fbox{セ}\fbox{ソ}}{\fbox{タ}\fbox{チ}} \] のときであって,$\alpha\gamma$の最小値は$\displaystyle -\frac{\fbox{ツ}\fbox{テ}\fbox{ト}}{\fbox{ナ}\fbox{ニ}}$である.
(1) この方程式が,異なる$3$つの実数解をもつような$k$の値の範囲は \[ -\fbox{ア}\fbox{イ}<k< \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} \hfill \cdots\cdots (\ast\ast) \] である.
(2) $k$が$(\ast\ast)$の範囲にあるとき,方程式$(\ast)$の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$(ただし$\alpha<\beta<\gamma$)とおく.
(ⅰ) $k$が$(\ast\ast)$の範囲を動くとき,$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の取りうる値の範囲は,それぞれ \[ -\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}<\alpha<-\fbox{キ},\quad -\fbox{ク}<\beta<\fbox{ケ},\quad \fbox{コ}<\gamma<\frac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}} \] である.
(ⅱ) $k$が$(\ast\ast)$の範囲を動くとき,$\alpha$と$\gamma$の積$\alpha\gamma$が最小となるのは \[ k=-\frac{\fbox{ス}\fbox{セ}\fbox{ソ}}{\fbox{タ}\fbox{チ}} \] のときであって,$\alpha\gamma$の最小値は$\displaystyle -\frac{\fbox{ツ}\fbox{テ}\fbox{ト}}{\fbox{ナ}\fbox{ニ}}$である.
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。