東京理科大学
2012年 基礎工 第3問
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![原点をOとする座標平面上に2点A,Bがあり,2つのベクトルベクトルOA,ベクトルOBが|ベクトルOA|=2√3,|ベクトルOB|=\sqrt{15},ベクトルOA・ベクトルOB=8を満たしているとする.ここで,|ベクトルOA|,|ベクトルOB|はそれぞれベクトルOA,ベクトルOBの大きさを表し,ベクトルOA・ベクトルOBはベクトルOAとベクトルOBの内積を表すものとする.(1)ベクトルOAとベクトルOBのなす角をθとおくとcosθ=\frac{[ア]}{[イウ]}\sqrt{[エ]}となる.\\また,△OABの面積は\sqrt{[オカ]}である.(2)線分AB上の点CをベクトルOCとベクトルABが垂直となるようにとる.このとき,点Cは線分ABを[キ]:[ク]に内分する点である.](./thumb/269/272/2012_3.png)
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原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$があり,$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$が
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 2\sqrt{3}, \quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{15}, \quad \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}} = 8 \]
を満たしているとする.ここで,$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを表し,$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を表すものとする.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とおくと \[ \cos \theta = \frac{\fbox{ア}}{\fbox{イウ}} \sqrt{\fbox{エ}} \] となる.\\ \quad また,$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\sqrt{\fbox{オカ}}$である.
(2) 線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直となるようにとる.このとき,点$\mathrm{C}$は線分$\mathrm{AB}$を$\fbox{キ}:\fbox{ク}$に内分する点である.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とおくと \[ \cos \theta = \frac{\fbox{ア}}{\fbox{イウ}} \sqrt{\fbox{エ}} \] となる.\\ \quad また,$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\sqrt{\fbox{オカ}}$である.
(2) 線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直となるようにとる.このとき,点$\mathrm{C}$は線分$\mathrm{AB}$を$\fbox{キ}:\fbox{ク}$に内分する点である.
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