静岡大学
2011年 理学部(数) 第2問
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![自然数a,bに対して,a=bq+r,0≦r≦b-1を満たす整数q,rがただ1組存在する.このときqはaをbで割った商,rはaをbで割った余りという.自然数a_0,a_1が与えられたとき,数列{a_n},{q_n}は次の性質を満たすものとする.\mon[(i)]q_nはa_{n-1}をa_nで割った商\mon[(ii)]\biggl(\begin{array}{c}a_n\\a_{n+1}\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{cc}0&1\\1&-q_n\end{array}\biggr)\biggl(\begin{array}{c}a_{n-1}\\a_{n}\end{array}\biggr)ただし,a_{N+1}=0となる自然数Nが存在すれば,n>Nに対してq_nおよびa_{n+1}は定義しない.このとき,次の問いに答えよ.(1)a_{N+1}=0となる自然数Nが存在することを証明せよ.(2)a_N=aa_0+ba_1を満たす整数a,bが存在することを証明せよ.(3)a_Nはa_0とa_1の最大公約数であることを証明せよ.](./thumb/396/1404/2011_2.png)
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自然数$a,\ b$に対して,$a = bq+r,\ 0 \leqq r \leqq b-1$を満たす整数$q,\ r$がただ1組存在する.このとき$q$は$a$を$b$で割った商,$r$は$a$を$b$で割った余りという.自然数$a_0,\ a_1$が与えられたとき,数列$\{a_n\},\ \{q_n\}$は次の性質を満たすものとする.
[(i)] $q_n$は$a_{n-1}$を$a_n$で割った商 [(ii)] $\biggl( \begin{array}{c} a_n \\ a_{n+1} \end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & -q_n \end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{c} a_{n-1} \\ a_{n} \end{array} \biggr)$
ただし,$a_{N+1}=0$となる自然数$N$が存在すれば,$n>N$に対して$q_n$および$a_{n+1}$は定義しない.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $a_{N+1}=0$となる自然数$N$が存在することを証明せよ.
(2) $a_N=aa_0+ba_1$を満たす整数$a,\ b$が存在することを証明せよ.
(3) $a_N$は$a_0$と$a_1$の最大公約数であることを証明せよ.
[(i)] $q_n$は$a_{n-1}$を$a_n$で割った商 [(ii)] $\biggl( \begin{array}{c} a_n \\ a_{n+1} \end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & -q_n \end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{c} a_{n-1} \\ a_{n} \end{array} \biggr)$
ただし,$a_{N+1}=0$となる自然数$N$が存在すれば,$n>N$に対して$q_n$および$a_{n+1}$は定義しない.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $a_{N+1}=0$となる自然数$N$が存在することを証明せよ.
(2) $a_N=aa_0+ba_1$を満たす整数$a,\ b$が存在することを証明せよ.
(3) $a_N$は$a_0$と$a_1$の最大公約数であることを証明せよ.
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