佐賀大学
2012年 農学部 第5問
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$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{OA}=a$,$\mathrm{OB}=b$,$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とおく.ただし,$a \geqq b$および$0^\circ < \theta < 90^\circ$とする.点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{OA}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{A}_1$とする.また点$\mathrm{A}_1$を通って辺$\mathrm{AB}$に平行な直線と,辺$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{B}_1$とする.次に点$\mathrm{B}_1$から辺$\mathrm{OA}_1$に下ろした垂線の足を$\mathrm{A}_2$とし,点$\mathrm{A}_2$を通って辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$に平行な直線と,辺$\mathrm{OB}_1$との交点を$\mathrm{B}_2$とする.以下,この操作を続け,三角形の列
\[ \triangle \mathrm{OA}_1 \mathrm{B}_1,\ \triangle \mathrm{OA}_2 \mathrm{B}_2,\ \cdots,\ \triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n \]
をとる.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $\triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n$は,$\triangle \mathrm{OAB}$に相似であることを示せ.
(2) $\displaystyle \frac{\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n}{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{B}_{n-1}}$を$a,\ b,\ \theta$の式で表せ.
(3) $\triangle \mathrm{OA}_k \mathrm{B}_k$の面積を$S_k$とする.$a=2,\ b=1,\ \theta=30^\circ$のとき,$S_1+S_2+\cdots + S_n$を$n$の式で表せ.
(1) $\triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n$は,$\triangle \mathrm{OAB}$に相似であることを示せ.
(2) $\displaystyle \frac{\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n}{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{B}_{n-1}}$を$a,\ b,\ \theta$の式で表せ.
(3) $\triangle \mathrm{OA}_k \mathrm{B}_k$の面積を$S_k$とする.$a=2,\ b=1,\ \theta=30^\circ$のとき,$S_1+S_2+\cdots + S_n$を$n$の式で表せ.
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