大同大学
2011年 工・情報学部 第5問
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次の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1}=x^3+px^2+qx+r+\frac{s}{x^2+1}$をみたす定数$p,\ q,\ r,\ s$の値を求めよ．
(2) 置換積分法により，$x=\tan \theta$とおいて$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{x^2+1}$の値を求めよ．
(3) $\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1} \geqq \frac{x^3(x-1)^2}{k} \ \ (0 \leqq x \leqq 1)$をみたす最小の正の定数$k$の値を求めよ．
(4) 上の$(1)$，$(2)$，$(3)$の結果を使って，$\displaystyle \pi<\frac{63}{20}$を示せ．
(1) $\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1}=x^3+px^2+qx+r+\frac{s}{x^2+1}$をみたす定数$p,\ q,\ r,\ s$の値を求めよ．
(2) 置換積分法により，$x=\tan \theta$とおいて$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{x^2+1}$の値を求めよ．
(3) $\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1} \geqq \frac{x^3(x-1)^2}{k} \ \ (0 \leqq x \leqq 1)$をみたす最小の正の定数$k$の値を求めよ．
(4) 上の$(1)$，$(2)$，$(3)$の結果を使って，$\displaystyle \pi<\frac{63}{20}$を示せ．
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