浜松医科大学
2010年 医学部 第3問
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![座標平面上にP_0(1,0)を取る.P_0を通りy軸と平行な直線と曲線C:y=\frac{5x+3}{x+3}との交点をP_1(x_1,y_1)とする.次に,P_1を通りx軸に平行な直線と直線ℓ:y=xとの交点をP_2(x_2,y_2)とする.さらに,P_2を通りy軸と平行な直線とCとの交点をP_3(x_3,y_3)とし,P_3を通りx軸に平行な直線と直線ℓとの交点をP_4(x_4,y_4)とする.以下この操作を続けて点列P_5(x_5,y_5),P_6(x_6,y_6),・・・,P_n(x_n,y_n),・・・を定める.このとき,次の問いに答えよ.(1)曲線Cのグラフを描け.また,その漸近線を求めよ.(2)z_n=\frac{x_{2n-1}-3}{x_{2n-1}+1}(n=1,2,3,・・・)とおくとき,\frac{z_{n+1}}{z_n}を求めよ.(3)数列{z_n}はどのような数列か.また,その一般項z_nを求めよ.(4)数列{x_n}の一般項x_nを求めよ.さらに,極限\lim_{n→∞}x_nを求めよ.](./thumb/397/1051/2010_3.png)
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座標平面上に$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$を取る.$\mathrm{P}_0$を通り$y$軸と平行な直線と曲線$\displaystyle C:y=\frac{5x+3}{x+3}$との交点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$とする.次に,$\mathrm{P}_1$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\ell:y=x$との交点を$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$とする.さらに,$\mathrm{P}_2$を通り$y$軸と平行な直線と$C$との交点を$\mathrm{P}_3(x_3,\ y_3)$とし,$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\ell$との交点を$\mathrm{P}_4(x_4,\ y_4)$とする.以下この操作を続けて点列$\mathrm{P}_5(x_5,\ y_5)$,$\mathrm{P}_6(x_6,\ y_6)$,$\cdots$,$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$,$\cdots$を定める.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 曲線$C$のグラフを描け.また,その漸近線を求めよ.
(2) $\displaystyle z_n=\frac{x_{2n-1}-3}{x_{2n-1}+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき,$\displaystyle \frac{z_{n+1}}{z_n}$を求めよ.
(3) 数列$\{z_n\}$はどのような数列か.また,その一般項$z_n$を求めよ.
(4) 数列$\{x_n\}$の一般項$x_n$を求めよ.さらに,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ.
(1) 曲線$C$のグラフを描け.また,その漸近線を求めよ.
(2) $\displaystyle z_n=\frac{x_{2n-1}-3}{x_{2n-1}+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき,$\displaystyle \frac{z_{n+1}}{z_n}$を求めよ.
(3) 数列$\{z_n\}$はどのような数列か.また,その一般項$z_n$を求めよ.
(4) 数列$\{x_n\}$の一般項$x_n$を求めよ.さらに,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ.
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