中央大学
2015年 理工（一般） 第1問
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![次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び，その記号をマークせよ．ただし，同じ記号を2度以上用いてもよい．関数f(x)=\frac{sinx}{x}(x＞0)を考える．まず，\lim_{x→+0}f(x)=[ア]である．ところで，∫_0^xtsintdt=[イ]であり，0＜x＜π/2のとき∫_0^xtsintdt\;[ウ]\;x^2sinxが成り立つので，\lim_{x→+0}\frac{[イ]}{x^2}=[エ]である．これにより\lim_{x→+0}f´(x)=[オ]がわかる．さて，自然数nに対し，a_n=∫_{2nπ}^{(2n+1)π}f(x)dx，b_n=∫_{(2n+1)π}^{(2n+2)π}f(x)dxとおく．このとき，a_nは不等式[カ]を満たす．a_n+b_nは不等式[キ]を満たす．](./thumb/236/2211/2015_1.png)
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次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び，その記号をマークせよ．ただし，同じ記号を$2$度以上用いてもよい．
関数$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x} \ \ (x>0)$を考える．まず， \[ \lim_{x \to +0} f(x)=\fbox{ア} \] である．ところで， \[ \int_0^x t \sin t \, dt=\fbox{イ} \] であり，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$のとき \[ \int_0^x t \sin t \, dt \;\fbox{ウ}\; x^2 \sin x \] が成り立つので，$\displaystyle \lim_{x \to +0} \frac{\fbox{イ}}{x^2}=\fbox{エ}$である．これにより$\displaystyle \lim_{x \to +0} f^\prime(x)=\fbox{オ}$がわかる．
さて，自然数$n$に対し，$\displaystyle a_n=\int_{2n \pi}^{(2n+1)\pi}f(x) \, dx$，$\displaystyle b_n=\int_{(2n+1)\pi}^{(2n+2)\pi}f(x) \, dx$とおく．このとき，$a_n$は不等式$\fbox{カ}$を満たす．$a_n+b_n$は不等式$\fbox{キ}$を満たす．
関数$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x} \ \ (x>0)$を考える．まず， \[ \lim_{x \to +0} f(x)=\fbox{ア} \] である．ところで， \[ \int_0^x t \sin t \, dt=\fbox{イ} \] であり，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$のとき \[ \int_0^x t \sin t \, dt \;\fbox{ウ}\; x^2 \sin x \] が成り立つので，$\displaystyle \lim_{x \to +0} \frac{\fbox{イ}}{x^2}=\fbox{エ}$である．これにより$\displaystyle \lim_{x \to +0} f^\prime(x)=\fbox{オ}$がわかる．
さて，自然数$n$に対し，$\displaystyle a_n=\int_{2n \pi}^{(2n+1)\pi}f(x) \, dx$，$\displaystyle b_n=\int_{(2n+1)\pi}^{(2n+2)\pi}f(x) \, dx$とおく．このとき，$a_n$は不等式$\fbox{カ}$を満たす．$a_n+b_n$は不等式$\fbox{キ}$を満たす．
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