中央大学
2011年 商（会計、商業・貿易） 第3問
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$c_0,\ \cdots,\ c_3$を係数とする$3$次関数$f(x)=c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0$は，$4$つの条件
\[ f(0)=a,\quad f^\prime(0)=1,\quad f(1)=b,\quad f(-1)=1 \]
を満たしている．ここで$a$および$b$は実数で$b \neq 3$であり，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数を表す．このとき，以下の設問に答えよ．
(1) $f(x)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2) $3$次関数$f(x)$に対し，$2$次関数$g(x)$と定積分$S$を \[ g(x)=f(x)-c_3x^3,\quad S=\int_{-1}^1 g(x) \, dx \] と定める．定積分$S$の値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3) $a,\ b$が$3$つの不等式 \[ a \geqq 0,\quad b \geqq 0,\quad a+b \leqq 1 \] を満たすとき，$(2)$で定めた定積分$S$の最大値を求めよ．
(1) $f(x)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2) $3$次関数$f(x)$に対し，$2$次関数$g(x)$と定積分$S$を \[ g(x)=f(x)-c_3x^3,\quad S=\int_{-1}^1 g(x) \, dx \] と定める．定積分$S$の値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3) $a,\ b$が$3$つの不等式 \[ a \geqq 0,\quad b \geqq 0,\quad a+b \leqq 1 \] を満たすとき，$(2)$で定めた定積分$S$の最大値を求めよ．
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