中央大学
2012年 理工（理数選抜） 第4問
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$\displaystyle f(x)=\sin \left( \log \frac{1}{x} \right) \ \ (0<x \leqq 1)$とおく．$f(x)=0$となるすべての$x$を，大きい順に$a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots$とする．以下の問いに答えよ．
(1) $a_n \ \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．
(2) 正の定数$a,\ b$に対し \[ \frac{d}{dx} (Ae^{-ax} \cos bx+Be^{-ax} \sin bx)=e^{-ax} \cos bx \] を満たす定数$A,\ B$を求め，不定積分 \[ \int e^{-ax} \cos bx \, dx \] を求めよ．
(3) $\displaystyle b_n=\int_{a_{n+1}}^{a_n} \{f(x)\}^2 \, dx \ \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を，$\displaystyle t=\log \frac{1}{x}$とおくことにより求めよ．
(4) $(3)$で得られた数列$\{b_n\}$に対し，無限級数$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty b_n$の和を求めよ．
(1) $a_n \ \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．
(2) 正の定数$a,\ b$に対し \[ \frac{d}{dx} (Ae^{-ax} \cos bx+Be^{-ax} \sin bx)=e^{-ax} \cos bx \] を満たす定数$A,\ B$を求め，不定積分 \[ \int e^{-ax} \cos bx \, dx \] を求めよ．
(3) $\displaystyle b_n=\int_{a_{n+1}}^{a_n} \{f(x)\}^2 \, dx \ \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を，$\displaystyle t=\log \frac{1}{x}$とおくことにより求めよ．
(4) $(3)$で得られた数列$\{b_n\}$に対し，無限級数$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty b_n$の和を求めよ．
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