$2$次関数や$3$次関数$y=f(x)$から新しい関数$F(x)$を次のように作る．
実数$x$に対して，$f(\alpha)=f(x)$を満たす最大の$\alpha$をとり \[ F(x)=\alpha-x \] と定める．
例えば，$f(x)=x^2$の場合，実数$x$に対して$\alpha$の方程式$f(\alpha)=f(x)$は$\alpha^2=x^2$であり，$\alpha=\pm x$となる．したがって，その$2$つの$\alpha$のうち大きい方をとれば次を得る．
$x<0$のとき$\alpha=-x$により$F(x)=\alpha-x=-2x=2 |x|$
$x \geqq 0$のとき$\alpha=x$により$F(x)=\alpha-x=0$
以下では$f(x)=x^3-3b^2x \ \ (b>0)$に対して，上の操作で定めた関数$F(x)$を考える．
(1) $F(-b),\ F(0),\ F(b)$の値を求めよ．
(2) $F(x)=0$となる$x$の範囲を求めよ．また$F(x)>0$となる$x$の範囲を求めよ．
(3) $F(x)>0$となる$x$に対し，$f(\alpha)=f(x)$を満たす最大の$\alpha$を$x$の式で表せ．
(4) 関数$y=F(x)$を求め，そのグラフの概形をかけ．また$F(x)$の最大値を求めよ．