長崎大学
2014年 歯学・工学部 第4問
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次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$のとき,$\tan x=t$とおく.$\cos 2x$と$\displaystyle \frac{dx}{dt}$を$t$で表せ.
(2) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{2-\cos 2x} \, dx$を求めよ.
(3) 関数$\displaystyle y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$の逆関数を求めよ.
(4) $\displaystyle x=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$とおくことにより,$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$を求めよ.
(1) $\displaystyle -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$のとき,$\tan x=t$とおく.$\cos 2x$と$\displaystyle \frac{dx}{dt}$を$t$で表せ.
(2) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{2-\cos 2x} \, dx$を求めよ.
(3) 関数$\displaystyle y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$の逆関数を求めよ.
(4) $\displaystyle x=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$とおくことにより,$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$を求めよ.
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