$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=k$，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{COA}={45}^\circ$の四面体$\mathrm{OABC}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，底面$\mathrm{ABC}$上に点$\mathrm{H}$をとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$は定数$l,\ m,\ n$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=l \overrightarrow{a}+m \overrightarrow{b}+n \overrightarrow{c} \ \ (l+m+n=1)$と表される．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が垂直であるとき，$l-m-(\fbox{ア}-\sqrt{\fbox{イ}})n=0$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が底面$\mathrm{ABC}$と垂直であるとき，$\displaystyle l=\fbox{ウ}-\frac{\sqrt{\fbox{エ}}}{2}$，$m=\sqrt{\fbox{オ}}-\fbox{カ}$であり，さらに線分$\mathrm{OH}$の長さが$2$であるとき，$k^2=\fbox{キ} \sqrt{2}$である．