早稲田大学
2016年 政治経済学部 第3問
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次の不等式
\[ 1+\log_{\sqrt{x}} (n^2)<\log_n \sqrt{x}<\frac{1}{2}(1+\log_{\sqrt{n}} 3) \quad \cdots \quad (\ast) \]
を満たす自然数$n$と実数$x$について,以下の問に答えよ.
(1) 次の空欄にあてはまる数を記入せよ.
$t=\log_n x$とおく.このとき,$\displaystyle 1+\log_{\sqrt{x}} (n^2)=1+\frac{\fbox{ア}}{t}$,$\log_n \sqrt{x}=\fbox{イ} \times t$である.したがって,不等式$1+\log_{\sqrt{x}}(n^2)<\log_n \sqrt{x}$が満たされることは,
$\fbox{ウ}<t<\fbox{エ}$または$t>\fbox{オ}$であることと同値である.
(2) $x$も自然数であるとき,不等式$(\ast)$を満たす組$(n,\ x)$をすべて求めよ.
(1) 次の空欄にあてはまる数を記入せよ.
$t=\log_n x$とおく.このとき,$\displaystyle 1+\log_{\sqrt{x}} (n^2)=1+\frac{\fbox{ア}}{t}$,$\log_n \sqrt{x}=\fbox{イ} \times t$である.したがって,不等式$1+\log_{\sqrt{x}}(n^2)<\log_n \sqrt{x}$が満たされることは,
$\fbox{ウ}<t<\fbox{エ}$または$t>\fbox{オ}$であることと同値である.
(2) $x$も自然数であるとき,不等式$(\ast)$を満たす組$(n,\ x)$をすべて求めよ.
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