名古屋大学
2012年 理系 第1問
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$a$を正の定数とし,$xy$平面上の曲線$C$の方程式を$y=x^3-a^2x$とする.
(1) $C$上の点A$(t,\ t^3-a^2t)$における$C$の接線を$\ell$とする.$\ell$と$C$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ.ただし,$t$は0でないとする.
(2) $b$を実数とする.$C$の接線のうち$xy$平面上の点B$(2a,\ b)$を通るものの本数を求めよ.
(3) $C$の接線のうち点B$(2a,\ b)$を通るものが2本のみの場合を考え,それらの接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする.ただし,$\ell_1$と$\ell_2$はどちらも原点$(0,\ 0)$を通らないとする.$\ell_1$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし,$\ell_2$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする.$S_1 \geqq S_2$として,$\displaystyle\frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ.
(1) $C$上の点A$(t,\ t^3-a^2t)$における$C$の接線を$\ell$とする.$\ell$と$C$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ.ただし,$t$は0でないとする.
(2) $b$を実数とする.$C$の接線のうち$xy$平面上の点B$(2a,\ b)$を通るものの本数を求めよ.
(3) $C$の接線のうち点B$(2a,\ b)$を通るものが2本のみの場合を考え,それらの接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする.ただし,$\ell_1$と$\ell_2$はどちらも原点$(0,\ 0)$を通らないとする.$\ell_1$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし,$\ell_2$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする.$S_1 \geqq S_2$として,$\displaystyle\frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ.
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