早稲田大学
2013年 基幹理工・創造理工・先進理工 第1問
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放物線$C:y^2=4px \ \ (p>0)$の焦点$\mathrm{F}(p,\ 0)$を通る$2$直線$\ell_1$,$\ell_2$は互いに直交し,$C$と$\ell_1$は$2$点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$で,$C$と$\ell_2$は$2$点$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$で交わるとする.次の問に答えよ.
(1) $\ell_1$の方程式を$x=ay+p$と置き,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$の座標をそれぞれ$(x_1,\ y_1)$,$(x_2,\ y_2)$とする.$y_1+y_2$,$y_1y_2$を$a$と$p$で表せ.
(2) $\displaystyle \frac{1}{\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2}+\frac{1}{\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2}$は$\ell_1$,$\ell_2$のとり方によらず一定であることを示せ.
(1) $\ell_1$の方程式を$x=ay+p$と置き,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$の座標をそれぞれ$(x_1,\ y_1)$,$(x_2,\ y_2)$とする.$y_1+y_2$,$y_1y_2$を$a$と$p$で表せ.
(2) $\displaystyle \frac{1}{\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2}+\frac{1}{\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2}$は$\ell_1$,$\ell_2$のとり方によらず一定であることを示せ.
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