筑波大学
2015年 理系 第3問
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![pとqは正の整数とする.2次方程式x^2-2px-q=0の2つの実数解をα,βとする.ただしα>βとする.数列{a_n}をa_n=1/2(α^{n-1}+β^{n-1})(n=1,2,3,・・・)によって定める.ただしα^0=1,β^0=1と定める.(1)すべての自然数nに対して,a_{n+2}=2pa_{n+1}+qa_nであることを示せ.(2)すべての自然数nに対して,a_nは整数であることを示せ.(3)自然数nに対し,\frac{α^{n-1}}{2}以下の最大の整数をb_nとする.pとqがq<2p+1を満たすとき,b_nをa_nを用いて表せ.](./thumb/86/1824/2015_3.png)
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$p$と$q$は正の整数とする.$2$次方程式$x^2-2px-q=0$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とする.ただし$\alpha>\beta$とする.数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{1}{2}(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める.ただし$\alpha^0=1$,$\beta^0=1$と定める.
(1) すべての自然数$n$に対して,$a_{n+2}=2pa_{n+1}+qa_n$であることを示せ.
(2) すべての自然数$n$に対して,$a_n$は整数であることを示せ.
(3) 自然数$n$に対し,$\displaystyle \frac{\alpha^{n-1}}{2}$以下の最大の整数を$b_n$とする.$p$と$q$が$q<2p+1$を満たすとき,$b_n$を$a_n$を用いて表せ.
(1) すべての自然数$n$に対して,$a_{n+2}=2pa_{n+1}+qa_n$であることを示せ.
(2) すべての自然数$n$に対して,$a_n$は整数であることを示せ.
(3) 自然数$n$に対し,$\displaystyle \frac{\alpha^{n-1}}{2}$以下の最大の整数を$b_n$とする.$p$と$q$が$q<2p+1$を満たすとき,$b_n$を$a_n$を用いて表せ.
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