名古屋市立大学
2010年 薬学部 第3問
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一辺の長さが$2a$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とする高さ$h$の正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$がある.ここで,辺$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$,$\mathrm{OC}$,$\mathrm{OD}$の長さはすべて等しい.正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$に内接する球を$Q_1$とし,また正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$の$4$つの側面と$Q_1$に接する球を$Q_2$とする.以下同様にして球$Q_3,\ Q_4,\ \cdots,\ Q_n$をつくる.次の問いに答えよ.
(1) 球$Q_1$の半径$r_1$を求めよ.
(2) 球$Q_{k+1}$の半径$r_{k+1}$を球$Q_k$の半径$r_k$で示せ.
(3) 球$Q_n$の体積を$a,\ h,\ n$で示せ.
(4) $h=2\sqrt{2}a$のとき,球$Q_1,\ Q_2,\ Q_3,\ \cdots,\ Q_n$の体積の和を$a,\ n$で示せ.
(1) 球$Q_1$の半径$r_1$を求めよ.
(2) 球$Q_{k+1}$の半径$r_{k+1}$を球$Q_k$の半径$r_k$で示せ.
(3) 球$Q_n$の体積を$a,\ h,\ n$で示せ.
(4) $h=2\sqrt{2}a$のとき,球$Q_1,\ Q_2,\ Q_3,\ \cdots,\ Q_n$の体積の和を$a,\ n$で示せ.
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