宮城大学
2013年 文系 第3問
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次の空欄$\fbox{ナ}$から$\fbox{ヘ}$にあてはまる数や式を書きなさい.
ゆがんだサイコロがあり,各々の目の出る確率は下記の確率分布表の通りである. \begin{center} 確率分布表 \quad \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 目 & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline 確率 & $\displaystyle\frac{1}{9}$ & $\displaystyle\frac{4}{45}$ & $p$ & $q$ & $\displaystyle\frac{1}{35}$ & $r$ \\ \hline \end{tabular} \end{center}
また,このサイコロを$6$回投げたとき,次のような$2$つのデータ$\tokeiichi$,$\tokeini$が残った.
データ$\tokeiichi \cdots 4$回目に投げたとき$2$度目の$3$の目になる確率が$\displaystyle \frac{4}{27}$であった.
データ$\tokeini \cdots$出る目の期待値が$\displaystyle \frac{1153}{315}$であった.
このとき,以下の問いに答えなさい.ただし,$\displaystyle \frac{1}{35}<\frac{4}{45}<\frac{1}{9}<q<r<p<\frac{2}{3}$とする.
まず,確率分布表から,$p+q+r=\fbox{ナ} \ \ \cdots\cdots \maruichi$である.
次に,データ$\tokeiichi$は$3$の目が$3$回目までに既に$1$回だけ出ていることを示すから, \[ \fbox{ニ}=\frac{4}{27} \] となる.
これより,次の$2$次方程式が得られる. \[ \fbox{ヌ}=0 \] 条件より,$\displaystyle p<\frac{2}{3}$だから,$p=\fbox{ネ}$である.すると$\maruichi$から, \[ q+r=\fbox{ノ} \ \ \cdots\cdots\maruni \] となる.
データ$\tokeini$から,期待値の式を$p,\ q,\ r$を用いて表せば, \[ \fbox{ハ}=\frac{1153}{315} \] である.
ゆえに,$p=\fbox{ネ}$を適用して, \[ 2q+3r=\fbox{ヒ} \ \ \cdots\cdots\marusan \] となる.$\maruni$と$\marusan$を連立して,$q=\fbox{フ}$,$r=\fbox{ヘ}$を得る.
ゆがんだサイコロがあり,各々の目の出る確率は下記の確率分布表の通りである. \begin{center} 確率分布表 \quad \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 目 & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline 確率 & $\displaystyle\frac{1}{9}$ & $\displaystyle\frac{4}{45}$ & $p$ & $q$ & $\displaystyle\frac{1}{35}$ & $r$ \\ \hline \end{tabular} \end{center}
また,このサイコロを$6$回投げたとき,次のような$2$つのデータ$\tokeiichi$,$\tokeini$が残った.
データ$\tokeiichi \cdots 4$回目に投げたとき$2$度目の$3$の目になる確率が$\displaystyle \frac{4}{27}$であった.
データ$\tokeini \cdots$出る目の期待値が$\displaystyle \frac{1153}{315}$であった.
このとき,以下の問いに答えなさい.ただし,$\displaystyle \frac{1}{35}<\frac{4}{45}<\frac{1}{9}<q<r<p<\frac{2}{3}$とする.
まず,確率分布表から,$p+q+r=\fbox{ナ} \ \ \cdots\cdots \maruichi$である.
次に,データ$\tokeiichi$は$3$の目が$3$回目までに既に$1$回だけ出ていることを示すから, \[ \fbox{ニ}=\frac{4}{27} \] となる.
これより,次の$2$次方程式が得られる. \[ \fbox{ヌ}=0 \] 条件より,$\displaystyle p<\frac{2}{3}$だから,$p=\fbox{ネ}$である.すると$\maruichi$から, \[ q+r=\fbox{ノ} \ \ \cdots\cdots\maruni \] となる.
データ$\tokeini$から,期待値の式を$p,\ q,\ r$を用いて表せば, \[ \fbox{ハ}=\frac{1153}{315} \] である.
ゆえに,$p=\fbox{ネ}$を適用して, \[ 2q+3r=\fbox{ヒ} \ \ \cdots\cdots\marusan \] となる.$\maruni$と$\marusan$を連立して,$q=\fbox{フ}$,$r=\fbox{ヘ}$を得る.
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