東京医科歯科大学
2014年 医学部 第2問
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$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす実数$\theta$に対し,$xyz$空間内の$4$点$\mathrm{A}(\cos \theta,\ \cos \theta,\ \sin \theta)$,$\mathrm{B}(-\cos \theta,\ -\cos \theta,\ \sin \theta)$,$\mathrm{C}(\cos \theta,\ -\cos \theta,\ -\sin \theta)$,$\mathrm{D}(-\cos \theta,\ \cos \theta,\ -\sin \theta)$を頂点とする四面体の体積を$V(\theta)$,この四面体の$xz$平面による切り口の面積を$S(\theta)$とする.このとき以下の各問いに答えよ.
(1) $\displaystyle S \left( \frac{\pi}{6} \right),\ V \left( \frac{\pi}{6} \right)$をそれぞれ求めよ.
(2) $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における$S(\theta)$の最大値を求めよ.
(3) $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における$V(\theta)$の最大値を求めよ.
(1) $\displaystyle S \left( \frac{\pi}{6} \right),\ V \left( \frac{\pi}{6} \right)$をそれぞれ求めよ.
(2) $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における$S(\theta)$の最大値を求めよ.
(3) $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における$V(\theta)$の最大値を求めよ.
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