宮城教育大学
2014年 教育学部(中等数学) 第3問
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辺の長さが$\mathrm{OA}=1$,$\mathrm{OB}=2$,$\mathrm{OC}=3$である四面体$\mathrm{OABC}$において,$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AB}$,$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AC}$とする.辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}$とし,辺$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$,辺$\mathrm{OC}$を$1:8$に内分する点を$\mathrm{F}$とする.$3$点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$を通る平面上の点$\mathrm{G}$が,$\mathrm{EG} \perp \mathrm{DE}$,$\mathrm{FG} \perp \mathrm{DF}$をみたすとする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値をそれぞれ求めよ.
(2) $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=t$とおくとき,$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ.
(3) $3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る平面と直線$\mathrm{OG}$が点$\mathrm{H}$で交わるとする.直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき,$\mathrm{BI}:\mathrm{IC}$を求めよ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値をそれぞれ求めよ.
(2) $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=t$とおくとき,$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ.
(3) $3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る平面と直線$\mathrm{OG}$が点$\mathrm{H}$で交わるとする.直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき,$\mathrm{BI}:\mathrm{IC}$を求めよ.
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