以下の各問いに答えなさい．
(1) 次の$\fbox{}$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$\fbox{ア}$といい，表すことができない数を$\fbox{イ}$という．
(2) $x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3) $\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(4) $x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．
(5) $y=xe^{-x}$を微分しなさい． $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$を求めなさい．