大阪府立大学
2014年 文系 第3問
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![a,bを定数とし,2次の正方行列A,X,YはA=aX+bY,X+Y=E,XY=Oをみたすとする.ここで,EとOはそれぞれ2次の単位行列と零行列を表す.このとき,X+Y=Eの両辺に左からXを掛けるとX^2=Xが成り立つことがわかる.(1)Y^2=Y,YX=Oが成り立つことを示せ.(2)AがEの定数倍ではないとき,A-aEとA-bEはともに逆行列をもたないことを示せ.(3)A=(\begin{array}{cc}-1&2\6&3\end{array})のとき,a,b(a<b)およびX,Yを求めよ.](./thumb/507/2698/2014_3.png)
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$a,\ b$を定数とし,$2$次の正方行列$A,\ X,\ Y$は
\[ A=aX+bY,\quad X+Y=E,\quad XY=O \]
をみたすとする.ここで,$E$と$O$はそれぞれ$2$次の単位行列と零行列を表す.このとき,$X+Y=E$の両辺に左から$X$を掛けると$X^2=X$が成り立つことがわかる.
(1) $Y^2=Y,\ YX=O$が成り立つことを示せ.
(2) $A$が$E$の定数倍ではないとき,$A-aE$と$A-bE$はともに逆行列をもたないことを示せ.
(3) $A=\left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 6 & 3 \end{array} \right)$のとき,$a,\ b \ \ (a<b)$および$X,\ Y$を求めよ.
(1) $Y^2=Y,\ YX=O$が成り立つことを示せ.
(2) $A$が$E$の定数倍ではないとき,$A-aE$と$A-bE$はともに逆行列をもたないことを示せ.
(3) $A=\left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 6 & 3 \end{array} \right)$のとき,$a,\ b \ \ (a<b)$および$X,\ Y$を求めよ.
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