名古屋市立大学
2011年 芸術工学部 第3問
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平面上の原点を$\mathrm{O}$とし,三角形$\mathrm{OAB}$と実数$p \ (0<p<1)$に対して,点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\cdots$の位置ベクトルを
\begin{eqnarray}
& & \overrightarrow{\mathrm{OP_1}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OP_2}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OP_3}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}, \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OP_4}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}+p^3\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OP_5}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}+p^3\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p^4\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \cdots \nonumber
\end{eqnarray}
によって定義する.次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP_{3n}}}$を$n,\ p,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\overrightarrow{\mathrm{OP_{3n}}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とする.直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき,点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{AB}$をどのような比に分けるか答えよ.
(3) 点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{OQ}$をどのような比に分けるか答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP_{3n}}}$を$n,\ p,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\overrightarrow{\mathrm{OP_{3n}}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とする.直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき,点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{AB}$をどのような比に分けるか答えよ.
(3) 点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{OQ}$をどのような比に分けるか答えよ.
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