上智大学
2015年 法(地球),経済(経営),総合(社会福祉) 第2問
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$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において,$\mathrm{OA}=2$,$\mathrm{OB}=1$,$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1$を満たす点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を考え,直線$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$をとる.ただし,$\mathrm{AB}>\mathrm{AP}$とする.
(1) $\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$のとき,$\displaystyle \mathrm{OP}=\frac{\sqrt{\fbox{サ}}}{\fbox{シ}}$である.
(2) $\triangle \mathrm{OBP}$が二等辺三角形であるとき, \[ \mathrm{OP}^2=1,\quad \mathrm{AP}=\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} \sqrt{\fbox{ソ}}, \] または \[ \mathrm{OP}^2=\fbox{タ}+\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}} \sqrt{\fbox{テ}},\quad \mathrm{AP}=\fbox{ト}+\sqrt{\fbox{ナ}}, \] または \[ \mathrm{OP}^2=\frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}},\quad \mathrm{AP}=\frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}} \sqrt{\fbox{ハ}} \] である.ただし, \[ \frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} \sqrt{\fbox{ソ}}<\fbox{ト}+\sqrt{\fbox{ナ}}<\frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}} \sqrt{\fbox{ハ}} \] とする.
(3) 座標空間に,$\mathrm{OC}=2$,$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$を満たす点$\mathrm{C}$をとる.$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし,点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{CQ}$を下ろす.このとき,
$\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{\sqrt{\fbox{ヒ}}}{\fbox{フ}}$であり,四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{ヘ}}}{\fbox{ホ}}$である.
(1) $\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$のとき,$\displaystyle \mathrm{OP}=\frac{\sqrt{\fbox{サ}}}{\fbox{シ}}$である.
(2) $\triangle \mathrm{OBP}$が二等辺三角形であるとき, \[ \mathrm{OP}^2=1,\quad \mathrm{AP}=\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} \sqrt{\fbox{ソ}}, \] または \[ \mathrm{OP}^2=\fbox{タ}+\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}} \sqrt{\fbox{テ}},\quad \mathrm{AP}=\fbox{ト}+\sqrt{\fbox{ナ}}, \] または \[ \mathrm{OP}^2=\frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}},\quad \mathrm{AP}=\frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}} \sqrt{\fbox{ハ}} \] である.ただし, \[ \frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} \sqrt{\fbox{ソ}}<\fbox{ト}+\sqrt{\fbox{ナ}}<\frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}} \sqrt{\fbox{ハ}} \] とする.
(3) 座標空間に,$\mathrm{OC}=2$,$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$を満たす点$\mathrm{C}$をとる.$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし,点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{CQ}$を下ろす.このとき,
$\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{\sqrt{\fbox{ヒ}}}{\fbox{フ}}$であり,四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{ヘ}}}{\fbox{ホ}}$である.
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