三角形$\mathrm{OAB}$は面積が$9 \sqrt{7}$で，$\mathrm{OA}=6$，$\mathrm{OB}=8$であり，$\angle \mathrm{AOB}$は鈍角である．辺$\mathrm{AB}$上に$2$点$\mathrm{L}$，$\mathrm{M}$があり，線分$\mathrm{OL}$上に点$\mathrm{N}$があって， \[ \mathrm{AL}:\mathrm{LB}=1:3,\quad \mathrm{AM}:\mathrm{MB}=\mathrm{ON}:\mathrm{NL}=t:(1-t) \] （ただし，$0<t<1$）が成り立っている．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle \sin \angle \mathrm{AOB}=\frac{\fbox{ア} \sqrt{\fbox{イ}}}{\fbox{ウ}}$であり，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\fbox{エオ}$である．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$，$\overrightarrow{\mathrm{NM}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}} t \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{NM}}=(1-\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}} t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$
と表される．
(3) $\overrightarrow{\mathrm{NM}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と垂直になるのは，$\displaystyle t=\frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}$のときである．このとき，三角形$\mathrm{NAB}$の面積は$\fbox{タ} \sqrt{\fbox{チ}}$である．