佐賀大学
2011年 理工学部 第3問
3
3
関数
\[ f(t) = \int_1^t \frac{\log x}{x+t} \, dx \quad (t>0) \]
を考える．ただし，対数は自然対数とする．
(1) この定積分を$x=ty$によって置換することにより， \[ f(t)=\log t \int_{t^{-1}}^1 \frac{1}{y+1} \, dy+\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy \] を示せ．
(2) $\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy=-\frac{\log t}{t(t+1)}$を示せ．
(3) 導関数$f^{\,\prime}(t)$を求めよ．
(4) 関数$f(t)$の極値を求めよ．
(1) この定積分を$x=ty$によって置換することにより， \[ f(t)=\log t \int_{t^{-1}}^1 \frac{1}{y+1} \, dy+\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy \] を示せ．
(2) $\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy=-\frac{\log t}{t(t+1)}$を示せ．
(3) 導関数$f^{\,\prime}(t)$を求めよ．
(4) 関数$f(t)$の極値を求めよ．
つぶやく
類題（関連度順）
コメント（0件）
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。
