信州大学
2016年 医学部 第5問
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![P_0,Q_0を複素数平面上の異なる点とする.自然数kに対して,平面上の点P_k,Q_kを以下の条件(i),(ii)を満たすものとして定める.(i)線分P_{k-1}Q_{k-1}をP_{k-1}を中心として角θだけ回転させた線分がP_{k-1}Q_{k}となる.(ii)線分P_{k-1}Q_{k}をQ_{k}を中心として角θ´だけ回転させた線分がQ_{k}P_{k}となる.以下の問いに答えよ.(1)Q_{k+2}=Q_kとなるための,θとθ´に関する条件を求めよ.(2)0≦θ<2π,θ=-θ´,|Q_0P_0|=1とする.Q_0を中心とし,半径がrの円をCとする.P_{n-1}はCの内部,Q_nはCの外部にあるという.このとき,r^2が取り得る値の範囲をnとθを用いて表せ.](./thumb/377/1004/2016_5.png)
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$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{Q}_0$を複素数平面上の異なる点とする.自然数$k$に対して,平面上の点$\mathrm{P}_k$,$\mathrm{Q}_k$を以下の条件$\tokeiichi$,$\tokeini$を満たすものとして定める.
(ⅰ) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k-1}$を$\mathrm{P}_{k-1}$を中心として角$\theta$だけ回転させた線分が$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$となる.
(ⅱ) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$を$\mathrm{Q}_{k}$を中心として角$\theta^\prime$だけ回転させた線分が$\mathrm{Q}_{k} \mathrm{P}_{k}$となる.
以下の問いに答えよ.
(1) $\mathrm{Q}_{k+2}=\mathrm{Q}_k$となるための,$\theta$と$\theta^\prime$に関する条件を求めよ.
(2) $0 \leqq \theta<2\pi$,$\theta=-\theta^\prime$,$|\mathrm{Q|_0 \mathrm{P}_0}=1$とする.$\mathrm{Q}_0$を中心とし,半径が$r$の円を$C$とする.$\mathrm{P}_{n-1}$は$C$の内部,$\mathrm{Q}_n$は$C$の外部にあるという.このとき,$r^2$が取り得る値の範囲を$n$と$\theta$を用いて表せ.
(ⅰ) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k-1}$を$\mathrm{P}_{k-1}$を中心として角$\theta$だけ回転させた線分が$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$となる.
(ⅱ) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$を$\mathrm{Q}_{k}$を中心として角$\theta^\prime$だけ回転させた線分が$\mathrm{Q}_{k} \mathrm{P}_{k}$となる.
以下の問いに答えよ.
(1) $\mathrm{Q}_{k+2}=\mathrm{Q}_k$となるための,$\theta$と$\theta^\prime$に関する条件を求めよ.
(2) $0 \leqq \theta<2\pi$,$\theta=-\theta^\prime$,$|\mathrm{Q|_0 \mathrm{P}_0}=1$とする.$\mathrm{Q}_0$を中心とし,半径が$r$の円を$C$とする.$\mathrm{P}_{n-1}$は$C$の内部,$\mathrm{Q}_n$は$C$の外部にあるという.このとき,$r^2$が取り得る値の範囲を$n$と$\theta$を用いて表せ.
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