$f(x)$は実数全体で定義された関数とする．実数$a$に関する条件$(\mathrm{P})$を考える．
$(\mathrm{P})$ \ \ 正の実数$r$を十分小さく選べば，$|x-a|<r$をみたすすべての実数$x$に対して$f(x) \leqq f(a)$が成り立つ．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 実数$a$が条件$(\mathrm{P})$をみたし，かつ，$f(x)$が$x=a$で微分可能ならば，$f^\prime(a)=0$であることを証明せよ．
(2) 関数$f(x)$が \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} |x|-x & (x<1 \text{のとき}) \\ |x^2-6x+8| & (x \geqq 1 \text{のとき}) \end{array} \right. \] で定義されているとき，条件$(\mathrm{P})$をみたすような実数$a$全体の集合を決定せよ．
(3) 一般に，実数全体で定義された関数$f(x)$に対し，次の命題は正しいか．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げよ．
（命題） \ \ すべての実数$a$が条件$(\mathrm{P})$をみたすならば，$f(x)$は定数関数である．