$b$と$c$を$b^2+4c>0$を満たす実数として，$x$に関する$2$次方程式$x^2-bx-c=0$の相異なる解を$\alpha,\ \beta$とする．数列$\{a_n\}$を \[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1) 数列$\{a_n\}$は漸化式 \[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] を満たすことを示せ．
(2) 数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．