コインを$n$回続けて投げ，$1$回投げるごとに次の規則に従って得点を得るゲームをする． \begin{itemize}
コイン投げの第$1$回目には，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と異なる面が出たら，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と同じ面が出たら，$2$点を得点とする． \end{itemize} 例えばコインを$3$回投げて（裏，表，裏）の順に出たときの得点は，$1+1+1=3$より$3$点となる．また（裏，裏，表）のときの得点は，$1+2+1=4$より$4$点となる．
コインの表と裏が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，このゲームで得られる得点が$m$となる確率を$P_{n,m}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) $n \geqq 2$が与えられたとき，$P_{n,2n-1}$と$P_{n,2n-2}$を求めよ．
(2) $n \leqq m \leqq 2n-1$について，$P_{n,m}$を$n$と$m$の式で表せ．