千葉大学
2013年 教育学部（算数・技術） 第6問
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整数$p,\ q \ (p \geqq q \geqq 0)$に対して$2$項係数を$\displaystyle \comb{p}{q}=\frac{p!}{q!(p-q)!}$と定める．なお$0!=1$とする．
(1) $n,\ k$が$0$以上の整数のとき， \[ \comb{n+k+1}{k+1} \times \left( \frac{1}{\comb{n+k}{k}}-\frac{1}{\comb{n+k+1}{k}} \right) \] を計算し，$n$によらない値になることを示せ．
(2) $m$が$3$以上の整数のとき，和$\displaystyle \frac{1}{\comb{3}{3}}+\frac{1}{\comb{4}{3}}+\frac{1}{\comb{5}{3}}+\cdots +\frac{1}{\comb{m}{3}}$を求めよ．
(1) $n,\ k$が$0$以上の整数のとき， \[ \comb{n+k+1}{k+1} \times \left( \frac{1}{\comb{n+k}{k}}-\frac{1}{\comb{n+k+1}{k}} \right) \] を計算し，$n$によらない値になることを示せ．
(2) $m$が$3$以上の整数のとき，和$\displaystyle \frac{1}{\comb{3}{3}}+\frac{1}{\comb{4}{3}}+\frac{1}{\comb{5}{3}}+\cdots +\frac{1}{\comb{m}{3}}$を求めよ．
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