$a,\ b$を実数とし，$a>0$とする．放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$上に$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( a,\ \frac{a^2}{4} \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( b,\ \frac{b^2}{4} \right)$をとる．点$\mathrm{A}$における放物線の接線と法線をそれぞれ$\ell_\mathrm{A}$と$n_\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$における放物線の接線と法線をそれぞれ$\ell_\mathrm{B}$と$n_\mathrm{B}$とおいたとき，$\ell_\mathrm{A}$と$\ell_\mathrm{B}$が直交しているものとする．$2$つの接線$\ell_\mathrm{A},\ \ell_\mathrm{B}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$2$つの法線$n_\mathrm{A},\ n_\mathrm{B}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．
(1) $b$を$a$を用いて表せ．
(2) $\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3) 長方形$\mathrm{AQBP}$の面積が最小となるような$a$の値と，そのときの面積を求めよ．