大阪府立大学
2010年 工学域(中期) 第4問
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![次の問いに答えよ.(1)aを正の定数とするとき,関数f(x)=log(x+\sqrt{a+x^2})の導関数f´(x)を求めよ.(2)t=√3tanθとおくことにより,定積分I=∫_0^1\frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}}を求めよ.(3)0≦x≦1であるすべてのxに対して,不等式∫_0^x\frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}}≧k∫_0^x\frac{dt}{\sqrt{3+t^2}}が成り立つための実数kの範囲を求めよ.ただし,log3=1.10とする.](./thumb/507/2710/2010_4.png)
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次の問いに答えよ.
(1) $a$を正の定数とするとき,関数 \[ f(x)=\log (x+\sqrt{a+x^2}) \] の導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(2) $t=\sqrt{3}\tan \theta$とおくことにより,定積分 \[ I=\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \] を求めよ.
(3) $0 \leqq x \leqq 1$であるすべての$x$に対して,不等式 \[ \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \geqq k \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}} \] が成り立つための実数$k$の範囲を求めよ.ただし,$\log 3=1.10$とする.
(1) $a$を正の定数とするとき,関数 \[ f(x)=\log (x+\sqrt{a+x^2}) \] の導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(2) $t=\sqrt{3}\tan \theta$とおくことにより,定積分 \[ I=\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \] を求めよ.
(3) $0 \leqq x \leqq 1$であるすべての$x$に対して,不等式 \[ \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \geqq k \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}} \] が成り立つための実数$k$の範囲を求めよ.ただし,$\log 3=1.10$とする.
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